Die Aussagenlogik dreht sich um logische Verknüpfungen zwischen den Wahrheitswerten wahr (w) und falsch (f). Die wichtigesten Verknüpfungen lauten:
¬). ¬a ist genau dann falsch, wenn a wahr ist (sonst wahr).∧). a∧b ist genau dann wahr, wenn a und b wahr sind (sonst falsch).∨). a∨b ist genau dann falsch, wenn a und b falsch sind (sonst wahr).<=>, in der Aussagenlogik selbst auch häufig ↔). Die Äquivalenz a↔b ist genau dann wahr, wenn a und b den gleichen Wahrheitswert haben.>–<), daraus-folgt (in beide Richtungen: →, ←), nicht-und (NAND) und nicht-oder (NOR).Solange mit diesen logischen Operatoren (+, -, · usw. sind arithmetische Operatoren) nur Wahrheitswerte verknüpft werden, ist das relativ langweilig (Wahrheitstabellen). Dass man damit aber Aussagen verknüpfen kann, macht sie zum Grundbaustein jeglicher Mathematik (Im Anfang war das Wort...
).
In der fünften Klasse wurden mir folgende Erklärungen beigebracht, die ich bis heute (elf Jahre danach) nicht vergessen habe:
Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde, bei dem man entscheiden kann, ob es wahr oder falsch ist.
5 = 7 (f)1 < 6 (w)Eine Aussageform ist ein sprachliches Gebilde mit Platzhalter. Setzt man für den Platzhalter Elemente aus der Grundmenge G ein. Diejenigen Einsetzungen, die die Aussageform in eine wahre Aussage überführen, bilden die Lösungsmenge L.
Die Schreibweise der Lösungsmenge ist ein Vorgriff auf die Mengenlehre.
z = 5 (L = {5})x > y (L = { (x,y) | x>y })Außerdem gibt es noch Terme (ohne h!). Ein Term ist sozusagen ein Teilstück einer Aussage oder Aussageform, in der Mathematik sind das Schnipsel wie
12,34πx+y5·cDurch den Einsatz von Vergleichsoperatoren (<, =, ≥ usw.) lassen sich Terme zu Aussagen oder Aussageformen zusammensetzen, durch arithmetische Operatoren zu weiteren Termen.
Eine Aussage steht also für einen Wahrheitswert, mehrere Aussagen lassen sich wie Wahrheitswerte verknüpfen. Das klappt auch mit Aussageformen, die jeweilige Verknüpfung hat Auswirkungen auf die Lösungsmenge.
x = 4 ∨ y = 3
…Brüche noch spannend waren, wurden Funktionen daraufhin untersucht, wo sie definiert sind (kam dann mit Kurvendiskussionen wieder auf den Tisch), z.B. von ƒ(x) := 1/(x+3) + 1/(x-2):
ƒ(x) ist nicht definiert
<=> x+3 = 0 ∨ x-2 = 0
<=> x = -3 ∨ x = 2
=> Dƒ = { x∈ℝ | x≠-3 ∧ x≠2 }
Beachte, dass sich hier alles „umkehrt“: Ausgangspunkt der Umformung ist, dass ƒ nicht definiert ist, bei der Menge geht es aber darum, wo ƒ definiert ist. Dafür sind die de Morgan-Regeln der Aussagenlogik verantwortlich:
¬(a∧b) <=> (¬a)∨(¬b)¬(a∨b) <=> (¬a)∧(¬b)Im Beispiel heißt es deswegen, dass
¬(x=-3 ∨ x=2)
<=> ¬(x=-3) ∧ ¬(x=2)
<=> x≠-3 ∧ x≠2
Bei Gleichungssystemen gibt es Gleichungen, die gleichzeitig gelten, etwa bei der Bestimmung der Schnittpunkte von einer Parabel ƒ(x):=x²-3 und einer Geraden g(x):=2·x-4. Zuerst müssen beide Gleichungen als Gleichungssystem hingeschrieben werden:
y=x²-3 ∧ y=2·x-4
Bei den Umformungen müssen entweder alle Gleichungen mitgeschleppt werden, oder das Ausrechnen einzelner Variablen muss explizit als Nebenrechnung ausgewiesen werden, sonst ist es falsch. Gleiches gilt für fehlende Äquivalenzzeichen (es gab eine Zeit, da wurde mir für jedes fehlende Äquivalenzzeichen ein Punkt abgezogen – eine angemessene Reaktion). Also:
<=> x²-3=2·x-4
∧ y=2·x-4
<=> x²-2·x+1=0
∧ y=2·x-4
<=> (x-1)²=0
∧ y=2·x-4
<=> (x=1 ∨ x=-1)
∧ y=2·x-4
<=> (x=1 ∧ y=2·x-4=-2)
∨ (x=-1 ∧ y=-2-4=-6)
Im letzten Schritt wird deutlich, dass das Ausrechnen von Klammern in der Aussagenlogik genau wie beim „normalen Rechnen“ funktioniert, das Ergebnis sind die beiden Schnittpunkte (-1|-6) und (1|-2).
Eine Menge kann man als ungeordnete Sammlung von Dingen auffassen. Es gibt mehrere Möglichkeiten, sie zu notieren:
{1, 2, 3, 5, 8}. Häufig werden die Elemente für bessere Lesbarkeit sortiert. Dann lassen sich auch abkürzende Schreibweisen für unendliche Mengen benutzen, wie bei den Vielfachen von fünf als V5 = {5, 10, 15, 20, …}. Als Trennzeichen zwischen den Elementen wird auch das Semikolon (;) benutzt, weil das Komma hierzulande als Dezimaltrennzeichen benutzt wird.{ p∈ℕ | p prim }, die Menge aller Primzahlen. Dabei spielen Aussageformen eine große Rolle, da sie ermöglichen, nur bestimmte Elemente auszuwählen: { x∈ℝ | x>-1 }. Da es manchmal (noch?) keine Menge gibt, die die Objekte enthält, oder man zu faul ist zu erwähnen, aus welcher Obermenge die Elemente kommen, kann die Angabe der Menge fehlen.∈, das Element-Symbol spricht sich als „ist Element von“, oder kürzer als „Element“ bzw. „aus“.| spricht sich als „für die/das gilt“.Insgesamt ergibt sich also für { x∈ℝ | x>-1 }: Die Menge aller x aus ℝ für die gilt, dass x größer als -1 ist, oder etwas umgangsprachlicher: Die Menger aller reellen Zahlen, die größer als -1 sind.
Häufig gibt man Mengen „Namen“; als Bezeichner werden große Buchstaben verwendet: M := {1, 2, π}. Für besondere Mengen werden die Buchstaben mit einem zweiten Strich ausgestattet, das sind ℕ für die natürlichen Zahlen, ℤ für die ganzen Zahlen, ℚ für die rationalen Zahlen und ℝ für die reellen Zahlen. Je nach Konvention bekommen auch die Menge der Primzahlen, die Mengen der Vielfachen und Teiler, Lösungsmengen sowie Definitions- und Wertebereiche den Doppelstrich. Im Gegensatz zu Mengen bekommen Variablen kleine Buchstaben.
Die Zahlenmengen sind (zumindest in diesem Rahmen) „von Gott gegeben“, wurden in den vorherigen Klassenstufen erklärt und sind somit „bekannt“.
Mit dem Doppelpunkt : bekommen auch Funktionen ihren Namen zugewiesen, in Langform müsste es eigentlich heißen:
ƒ: |
ℝ |
→ |
ℝ |
x |
↦ |
x²+3·x-2 |
Da in der Schule aber komplizierte Fälle (mit abgefahrenen Definitions- und Wertebereichen) nicht auftreten und Mathematiker faul sind, hat man sich verkürzte Schreibweisen ausgedacht: ƒ: x↦x²+3·x-2 und ƒ(x) := x²+3·x-2. Der Doppelpunkt steht also allgemein für eine Festlegung oder Zuweisung, eine Definition. Dadurch werden sie von Vergleichen (ohne Doppelpunkt) abgegrenzt.
Operationen bzw. Operatoren sind auch Funktionen, meistens mit zwei Operanden (in a+b sind a und b Operanden, + Operator und zusammen eine Operation). Operationen lassen sich also auch wie Funktionen definieren: a-b := a + (-b), wenn die Operatoren Plus (+) und Vorzeichen-Minus (-) bereits festgelegt sind.
Mit Mengen kann man auch rechnen; dazu müssen jedoch erst Operatoren eingeführt werden:
M vereinigt mit N: M∪N := { x | x∈M ∨ x∈N }M geschnitten mit N: M∩N := { x | x∈M ∧ x∈N } (= { x∈M | x∈N })M ohne N bzw. M minus N: M\N := M-N := { x∈M | x∉N }Dabei sind Vereinigungs- und Schnittmenge symmetrisch (M∩N=N∩M), die Restmenge hingegen nicht. Restmengen erleichtern häufig lange Schreibweisen. Im Beispiel zum Definitionsbereich lässt sich Dƒ nun viel angenehmer als ℝ\{-3, 2} schreiben.
Auch wenn diese Operatoren schon die ganze Zeit benutzt wurden, liste ich sie auf:
x ist Element einer Menge M (x∈M), z.B. ⅝∈ℚ.M, N sind gleich (M=N), wenn sie die gleichen Elemente enthalten, etwa {1, 2} = {2, 1}.M ist Teilmenge einer Menge N (M⊂N), wenn jedes Element aus M auch in N enthalten ist, etwa ℕ⊂ℤ. Das Gegenteil einer Teilmenge ist eine Obermenge.Ergebnis solcher Ausdrücke sind Wahrheitswerte, mit denen wie bekannt gearbeitet werden kann.
Um in Ebenen oder Räumen rechnen zu können, braucht man geordnete Paare oder Tupel von Zahlen. Dazu muss man mehrere Zahlen bündeln; und vorher ihre Zahlenmengen:
Mit dem kartesischen Produkt lassen sich Mengen von sog. geordneten Paaren erzeugen: M×N := { (x,y) | x∈M ∧ y∈N }. Die Paare (x,y) heißen geordnet, weil i.A. (x,y) ≠ (y,x) gelten soll – sonst könnte man sie als Mengen schreiben, die ja ungeordnet sind.
Anstelle des Kommas benutzt man zu Trennung der Komponenten auch das Semikolon (;) oder einen senkrechten Strich (|).
In der Schule trifft man eigentlich nur auf das kartesische Produkt von ℝ mit sich selbst, dafür werden wieder abkürzende Schreibweisen eingeführt: ℝ² := ℝ×ℝ und ebenso ℝ³ := ℝ×ℝ×ℝ. Vektoren der entsprechenden Dimensionen liegen in den Mengen ℝ² bzw. ℝ³.
Der Graph einer Funktion ist eine Menge von Punkten, nämlich { (x,y)∈ℝ² | y=ƒ(x) }; Schnittmengen sind hier anschaulich die Schnittpunkte von Graphen.
Punkte kann man so festlegen: P(1|2|3) (ohne Gleichzeichen, ohne Doppelpunkt). Punkte tragen – wie Mengen – große Buchstaben. Zu jedem Punkt gibt es einen Ortsvektor, der mit dem entsprechenden kleinen Buchstaben und einem Pfeil darauf bezeichnet wird, die Koordinaten sind sinnvollerweise die gleichen. Mit Punkten kann man nicht rechnen, wohl aber mit ihren Ortsvektoren.