Additive Abbildungen und die reellen Zahlen

Eine Antwort auf Lt-Kofis Spielwiese.

Bemerkungen

  1. Offenbar ist f(0)=0 (wegen f(x) = f(x+0) = f(x)+f(0)) und f(-x)=-f(x) (wegen 0 = f(0) = f(x-x) = f(x)+f(-x)).

  2. Auf ℚ ist die Funktion linear.

  3. Wäre Stetigkeit gefordert, würden Cauchyfolgen die Funktion dazu zwingen, auf ganz ℝ linear zu sein.

Gegenbeispiel reloaded (kürzer, der Kern bleibt)

Ich bin mit der alten Ausführung nicht zufrieden, daher hier die neue:

Zur Erinnerung: ℚ(π) := Spanℚ {1, π}.

f*: ℚ(π)→ℝ (eigentlich ℚ(π)→ℚ·m) ist durch die Bilder f*(1)=m (m∈ℝ, sinnvollerweise m≠0) und f*(π)=0 als lineare Abbildung über ℚ gegeben.

Da ℚ(π)⊂ℝ Untervektorraum ist, lässt sich {1, π} zu einer Basis von ℝ ergänzen, die Bilder der weiteren Basisvektoren seien alle 0, die entstehende Abbildung f: ℝ→ℝ ist ebenfalls linear (und insbesondere homogen) über ℚ.

Berechnung von f(a·x) für a=π, x=1

f(π·1) = f(π) = 0 ≠ π·m = π·f(1)

Anmerkungen

  1. Eine Frage, die bleibt, ist, ob es legitim ist, eine lineare Abbildung zu definieren (durch die Bilder der Basisvektoren) und dann zu zeigen, dass sie es doch nicht ist..

  2. π wird nur deshalb schon am Anfang erwähnt (und nicht erst zusammen mit den restlichen Basisvektoren abgehandelt), um zu verhindern, dass π Linearkombination mit rationalem Anteil ist; denn dann wäre f(π)≠f*(π) (zwar auch ungleich π·f(1), jedoch nicht so leicht zu berechnen).

  3. Bei der Betrachtung von ℝ als Vektorraum über ℚ fällt auf, dass die Multiplikation (wegen fehlender Körpereigenschaften) deutlich verzwickter (eine abgefahrene Abbildung zwischen den Basisvektoren) ist – das ist ein bisschen wie mit den ungleichen Zwillingen ℝ² und ℂ.

(Also: Es sollte doch ein Gegenbeispiel geben

Eine kleine Definition

ℚ+a := { x∈ℝ | ∃q∈ℚ: x=q+a }, analog zu ℚ·a := { x∈ℝ | ∃q∈ℚ: x=q·a }.

Konstruktion

Vorgeplänkel

ℝ ist unendlicher Vektorraum über ℚ mit der Basis B und genau einem rationalen Basiselement, o.B.d.A. sei dies 1 und erstes Basiselement. Nun lässt sich die Funktion f als Funktionentupel fb: ℚ→ℝ auffassen, mit b∈B.

(Jede Funktion fb landet in ℝ, um irrationale Steigungen anschaulicher zuzulassen; f(x) ist dann Summe über alle fb(x) – so bleibt die Additivität gewährleistet.)

Wie bereits festgestellt, ist f|ℚ linear, also gilt f|ℚ(q) = f(q·1) = f1(q) = m·q mit q∈ℚ beliebig, Steigung m∈ℝ gegeben, sinnvollerweise m≠0.

Ein reelles Bild

f soll nicht überall linear sein, also muss es ein x0∈ℝ mit f(x0)≠m·x0 geben.

Wegen der Definition als Funktionstupel sind die Bilder von ℚ+v ebenfalls bestimmt: f(q·1+v) = f(q·1)+f(v) = m·q+f(v).

Außerdem werden die Bilder von ℚ·v durch f(v) festgelegt: f(q·v) = q·f(v).

Alle weiteren analog.

Der Widerspruch

Mit q∈ℚ gilt: f(q·x) = q·f(x), weil jede Komponentenfunktion fv linear ist (auf ℚ).

Jedoch ergibt sich für a=v: f(v·1) = f(v) ≠ v·m = v·f(1).)